Asymptotyki funkcjonałów procesów gaussowskich i Lévy'ego z uwzględnieniem modeli ryzyka i kolejek

Badania właściwości rozkładów ekstremów procesów stochastycznych przyciągają coraz większą uwagę w najnowszej literaturze. Zainteresowanie to wynika zarówno z aspektów teoretycznych teorii wartości ekstremalnych, jak i z licznych zastosowań w matematyce stosowanej, zwłaszcza w finansach, teorii ryzyka, fizyce oraz teorii kolejek. Współczesne prace koncentrują się na asymptotycznym zachowaniu ogólnych funkcjonałów procesów stochastycznych - często o strukturze wielowymiarowej - oraz na badaniu ekstremów w losowych horyzontach czasowych. Analizowane problemy można ogólnie sformułować jako badanie $$\mathbb{P}\{ \Theta(\{X( t): t \in E\}) \in K_u \},$$ gdzie $\{X( t): t\in\mathbb{R}^d\}$ jest procesem lub polem stochastycznym, $E\subset\mathbb{R}^d$, $\Theta(\cdot)$ jest funkcjonałem o wartościach w $\mathbb{R}^q$, oraz gdzie $K_u\subset \mathbb{R}^{q}$ jest rodziną zbiorów zależnych od $u$ (zwykle $K_u=[u,\infty)$) prowadzących do zdarzeń rzadkich, dla których powyższe prawdopodobieństwo dąży do zera, gdy $u$ dąży do nieskończoności. Analiza asymptotycznego zachowania takich prawdopodobieństw wymaga odmiennych technik w zależności od klasy procesów. Badanie procesów gaussowskich opiera się na technikach inspirowanych lematem Pickandsa, metodzie podwójnej sumy oraz nierówności Borell-TIS, a także nierównościach porównawczych (Slepiana, Gordona, Sudakova-Fernique’a). Natomiast w przypadku procesów Lévy’ego wykorzystuje się m.in. teorię Dooba, czasy zatrzymania, własność Markowa, technikę wykładniczej zamiany miary i faktoryzację Wienera-Hopfa. W trakcie wystąpienia zostaną zaprezentowane wyniki z rozprawy doktorskiej autora, obejmujące wybrane problemy związane z modelami ryzyka i kolejek. Przedstawione zostaną nowe techniki analityczne, w tym uogólnienie lematu Breimana, oraz rozwinięcia klasycznych metod dowodowych stosowanych w różnych problemach teorii wartości ekstremalnych. W szczególności omówione zostaną 1. Asymptotyczne zachowanie prawdopodobieństwa skumulowanej paryskiej ruiny dla skorelowanego ruchu Browna z dryfem w reżimie wielu źródeł, 2. Asymptotyka prawdopodobieństwa przepełnienia bufora dla stacjonarnych kolejek gaussowskich zasilanych ułamkowym ruchem Browna w losowym horyzoncie czasowym, 3. Asymptotyka ogona dla szerokiej klasy funkcjonałów stacjonarnych kolejek Lévy z lekkoogonowym wejściem; dowód opiera się na słynnym lemacie Breimana, 4. Rozszerzenie lematu Breimana na iloczyny macierzy losowych i wektorów losowych indeksowanych przez $u$ (i ewentualnie dodatkowo przez parametr $\tau_u$), wraz z jego zastosowaniami do wyprowadzenia asymptotyki dla wybranych modeli gaussowskich. Otrzymane rezultaty obejmują rozszerzenia klasycznych lematów Pickandsa i Piterbarga, a także jednostajnego lematu Pickandsa dla funkcjonałów pól gaussowskich. Uzyskane uogólnienia dotyczą szerokiej klasy zbiorów postaci $u + \frac{1}{u} \log(K)$, podczas gdy dotychczasowe wyniki w literaturze ograniczały się do szczególnego przypadku $K = [1, \infty)$. Wyniki te rozszerzają znane w literaturze rezultaty na szersze klasy funkcjonałów i zbiorów oraz dostarczają nowych narzędzi dowodowych przydatnych w badaniu problemów teorii ekstremów procesów stochastycznych.