Seminaria

Lasso and ridge regression are well established and successful models for variance reduction and, for the lasso, variable selection. However, they come with a disadvantage of an increased bias in the estimator. In this seminar, I will talk about our general method that learns individual weights for each term in the regularisation penalty (e.g. lasso or ridge) with the goal to reduce the bias. To bound the amount of freedom for the model to choose the weights, a new regularisation term, that imposes a cost for choosing small weights, is introduced. If the form of this term is chosen wisely, the apparent doubling of the number of parameters vanishes, by means of solving for the weights in terms of the parameter estimates. We show that these estimators potentially keep the original estimators’ fundamental properties and experimentally verify that this can indeed reduce bias.

Quasiconvex subgroups are basic building blocks of hyperbolic groups, and relatively quasiconvex subgroups play a similar role in relatively hyperbolic groups. If $Q$ and $R$ are relatively quasiconvex subgroups of a relatively hyperbolic group $G$ then the intersection $Q \cap R$ will also be relatively quasiconvex, but the join $\langle Q,R \rangle$ may not be. I will discuss criteria for the existence of finite index subgroups $Q’ \leqslant_f Q$ and $R’ \leqslant_f R$ such that the ``virtual join’’ $\langle Q’, R’ \rangle$ is relatively quasiconvex. This is closely related to separability properties of $G$ and I will present applications to limit groups, Kleinian groups and fundamental groups of graphs of free groups with cyclic edge groups. The talk will be based on joint work with Lawk Mineh.

Badania właściwości rozkładów ekstremów procesów stochastycznych przyciągają coraz większą uwagę w najnowszej literaturze. Zainteresowanie to wynika zarówno z aspektów teoretycznych teorii wartości ekstremalnych, jak i z licznych zastosowań w matematyce stosowanej, zwłaszcza w finansach, teorii ryzyka, fizyce oraz teorii kolejek. Współczesne prace koncentrują się na asymptotycznym zachowaniu ogólnych funkcjonałów procesów stochastycznych - często o strukturze wielowymiarowej - oraz na badaniu ekstremów w losowych horyzontach czasowych. Analizowane problemy można ogólnie sformułować jako badanie $$\mathbb{P}\{ \Theta(\{X( t): t \in E\}) \in K_u \},$$ gdzie $\{X( t): t\in\mathbb{R}^d\}$ jest procesem lub polem stochastycznym, $E\subset\mathbb{R}^d$, $\Theta(\cdot)$ jest funkcjonałem o wartościach w $\mathbb{R}^q$, oraz gdzie $K_u\subset \mathbb{R}^{q}$ jest rodziną zbiorów zależnych od $u$ (zwykle $K_u=[u,\infty)$) prowadzących do zdarzeń rzadkich, dla których powyższe prawdopodobieństwo dąży do zera, gdy $u$ dąży do nieskończoności. Analiza asymptotycznego zachowania takich prawdopodobieństw wymaga odmiennych technik w zależności od klasy procesów. Badanie procesów gaussowskich opiera się na technikach inspirowanych lematem Pickandsa, metodzie podwójnej sumy oraz nierówności Borell-TIS, a także nierównościach porównawczych (Slepiana, Gordona, Sudakova-Fernique’a). Natomiast w przypadku procesów Lévy’ego wykorzystuje się m.in. teorię Dooba, czasy zatrzymania, własność Markowa, technikę wykładniczej zamiany miary i faktoryzację Wienera-Hopfa. W trakcie wystąpienia zostaną zaprezentowane wyniki z rozprawy doktorskiej autora, obejmujące wybrane problemy związane z modelami ryzyka i kolejek. Przedstawione zostaną nowe techniki analityczne, w tym uogólnienie lematu Breimana, oraz rozwinięcia klasycznych metod dowodowych stosowanych w różnych problemach teorii wartości ekstremalnych. W szczególności omówione zostaną 1. Asymptotyczne zachowanie prawdopodobieństwa skumulowanej paryskiej ruiny dla skorelowanego ruchu Browna z dryfem w reżimie wielu źródeł, 2. Asymptotyka prawdopodobieństwa przepełnienia bufora dla stacjonarnych kolejek gaussowskich zasilanych ułamkowym ruchem Browna w losowym horyzoncie czasowym, 3. Asymptotyka ogona dla szerokiej klasy funkcjonałów stacjonarnych kolejek Lévy z lekkoogonowym wejściem; dowód opiera się na słynnym lemacie Breimana, 4. Rozszerzenie lematu Breimana na iloczyny macierzy losowych i wektorów losowych indeksowanych przez $u$ (i ewentualnie dodatkowo przez parametr $\tau_u$), wraz z jego zastosowaniami do wyprowadzenia asymptotyki dla wybranych modeli gaussowskich. Otrzymane rezultaty obejmują rozszerzenia klasycznych lematów Pickandsa i Piterbarga, a także jednostajnego lematu Pickandsa dla funkcjonałów pól gaussowskich. Uzyskane uogólnienia dotyczą szerokiej klasy zbiorów postaci $u + \frac{1}{u} \log(K)$, podczas gdy dotychczasowe wyniki w literaturze ograniczały się do szczególnego przypadku $K = [1, \infty)$. Wyniki te rozszerzają znane w literaturze rezultaty na szersze klasy funkcjonałów i zbiorów oraz dostarczają nowych narzędzi dowodowych przydatnych w badaniu problemów teorii ekstremów procesów stochastycznych.